Đoạn Video
Ảnh
Ánh Bình Minh✔
Thành viên nổi tiếng
Một bài toán do nhà toán học nổi tiếng Ronald Graham đặt ra từ năm 1971 vừa được khép lại sau hơn nửa thế kỷ, nhờ công trình của nhà toán học người Việt Phạm Tuấn Huy và đồng nghiệp người Đức Lisa Sauermann. Lời giải mới đã lấp đầy khoảng trống cuối cùng trong chuỗi nghiên cứu kéo dài nhiều thập niên, cho thấy sức mạnh của các phương pháp xác suất và phân tích Fourier trong việc xử lý những bài toán tổ hợp tưởng chừng rất đơn giản.
Năm 1971, Ronald Graham đặt ra một câu hỏi về cách sắp xếp các phần tử trong một tập hợp. Ở dạng trực quan, nếu có một tập hợp gồm những số khác nhau và không có số 0, liệu có thể sắp xếp chúng theo một thứ tự đặc biệt để các tổng riêng phần liên tiếp không bao giờ trùng nhau?
Chẳng hạn, với dãy số được sắp xếp thành s1, s2, s3..., người ta xét s1, rồi s1+s2, tiếp đó s1+s2+s3 và cứ tiếp tục như vậy. Graham đặt câu hỏi liệu luôn tồn tại một cách sắp xếp để tất cả các tổng này đều khác nhau hay không.
Nếu chỉ làm việc với các số dương thông thường, câu hỏi không quá khó bởi tổng sẽ tăng dần. Vấn đề trở nên phức tạp khi các số được xét trong một hệ thống hữu hạn, nơi các giá trị có thể "quay vòng" như trên mặt đồng hồ.
Trong ngôn ngữ toán học, bài toán được đặt trong nhóm cộng modulo một số nguyên tố p. Khi đó, các số 0, p, 2p... được xem là cùng một giá trị. Vì vậy, hai số khác nhau về mặt số học thông thường vẫn có thể tạo ra cùng một tổng khi tính modulo p.
Graham dự đoán rằng, với mọi tập con các phần tử khác 0, luôn có thể tìm được một thứ tự để các tổng riêng phần đều khác nhau. Đây được biết đến với tên gọi "giả thuyết sắp xếp lại của Graham".
Điều thú vị là bài toán nhiều khả năng có liên hệ với niềm đam mê tung hứng của chính Graham. Ông không chỉ là một nhà toán học danh tiếng, từng giữ chức Chủ tịch Hội Toán học Mỹ, mà còn là một người tung hứng rất giỏi và từng giữ vai trò lãnh đạo Hiệp hội Tung hứng Quốc tế.
Trong cách hình dung này, mỗi số có thể được xem như thời gian một quả bóng ở trên không. Bài toán tương đương với việc tìm cách sắp xếp các lần ném sao cho không có hai quả bóng cùng rơi xuống vào một thời điểm.
Từng mảnh ghép được giải quyết qua nhiều thế hệ
Trong nhiều thập niên, giả thuyết của Graham vẫn nằm trong danh sách những bài toán chưa có lời giải hoàn chỉnh. Các nhà toán học sau đó dần xử lý những trường hợp đặc biệt, nhưng mỗi phương pháp thường chỉ phù hợp với một quy mô nhất định của tập hợp.
Một bước tiến quan trọng xuất hiện vào năm 2022, khi Alp Müyesser và Alexey Pokrovskiy xử lý trường hợp các tập hợp rất lớn, tức số lượng phần tử của tập hợp chiếm phần đáng kể so với kích thước của hệ thống modulo.
Ý tưởng của họ dựa vào việc xáo trộn ngẫu nhiên các phần tử. Một cách sắp xếp hoàn toàn ngẫu nhiên có thể tạo ra những đoạn mà tổng của các phần tử bằng 0. Khi đó, hai tổng riêng phần sẽ trùng nhau. Các nhà toán học tìm cách dành lại một số phần tử để sửa những đoạn "có vấn đề" này.
Hai năm sau, Noah Kravitz và Benjamin Bedert tiếp cận bài toán từ hướng ngược lại, tập trung vào những tập hợp rất nhỏ so với p. Kết quả được công bố năm 2024.
Đến tháng 8/2025, Bedert, Matija Bucić, Kravitz, Richard Montgomery và Müyesser tiếp tục mở rộng kết quả, xử lý thêm những trường hợp tập hợp tương đối lớn.
Tuy nhiên, giữa các kết quả đó vẫn tồn tại một vùng khó xử lý: những tập hợp có kích thước trung bình. Đây chính là phần mà các phương pháp trước đó không thể áp dụng hiệu quả.
Nếu tập hợp quá lớn, kỹ thuật của Müyesser và Pokrovskiy có thể phát huy tác dụng. Nếu tập hợp quá nhỏ, phương pháp của Kravitz và Bedert giải quyết được vấn đề. Nhưng khi số lượng phần tử nằm ở khoảng giữa, cả hai hướng đều gặp trở ngại.
Khoảng trống này cuối cùng được Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann lấp đầy.
Ba ngày ở Bonn và bước ngoặt của bài toán
Huy và Sauermann vốn đã quen biết nhau từ năm 2015 tại Đại học Stanford. Khi đó, Sauermann là nghiên cứu sinh còn Phạm Tuấn Huy là sinh viên đại học.
Tháng 9/2025, hai người có dịp gặp lại nhau tại một hội nghị ở Đức. Tại đây, họ nghe hai bài trình bày liên quan đến giả thuyết Graham và nhận ra rằng phần kích thước trung bình vẫn chưa được giải quyết.
Phạm Tuấn Huy quyết định ở lại Bonn thêm khoảng ba ngày. Trong khoảng thời gian rất ngắn đó, hai người bắt đầu tìm hướng tiếp cận mới.
Điểm xuất phát vẫn là ý tưởng xáo trộn ngẫu nhiên các phần tử. Sau đó, họ xây dựng một quy trình để sửa những đoạn có tổng bằng 0. Khi phát hiện một đoạn như vậy, phần tử cuối của đoạn có thể được thay thế bằng một phần tử khác nhằm phá vỡ sự trùng lặp.
Nhưng việc sửa lỗi lại có thể tạo ra lỗi mới. Các nhà toán học phải chứng minh rằng quá trình này không rơi vào vòng lặp hoặc thất bại.
Họ xác định ba tình huống có thể khiến quy trình gặp vấn đề. Thứ nhất, một đoạn có tổng bằng 0 có thể xuất hiện quá gần cuối dãy, khi không còn phần tử thích hợp để thay thế. Thứ hai, có quá nhiều đoạn có vấn đề xuất hiện quá gần nhau khiến việc sửa chữa trở nên bất khả thi. Thứ ba, việc sửa một đoạn có thể vô tình tạo ra một đoạn có tổng bằng 0 khác.
Đây chính là phần khó nhất của lời giải.
Sức mạnh của xác suất và phân tích Fourier
Để vượt qua trở ngại này, Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann sử dụng một kỹ thuật được gọi là "phản tập trung" hay anti-concentration.
Có thể hiểu đơn giản rằng thay vì cố gắng chỉ ra trực tiếp một cách sắp xếp hoàn hảo, các nhà toán học chứng minh rằng những tình huống xấu xảy ra với xác suất đủ nhỏ.
Họ bắt đầu bằng những cách sắp xếp ngẫu nhiên. Nếu các sự cố đều rất hiếm, tổng xác suất để ít nhất một sự cố nghiêm trọng xảy ra sẽ nhỏ hơn 1. Khi đó, chắc chắn phải tồn tại ít nhất một cách sắp xếp không gặp bất kỳ sự cố nào.
Để chứng minh điều này, hai nhà toán học sử dụng phân tích Fourier, một công cụ cho phép phân tích các hàm phức tạp thành những thành phần đơn giản hơn có dạng sóng.
Trong bài toán này, phân tích Fourier giúp họ kiểm soát khả năng một tổng ngẫu nhiên rơi đúng vào một giá trị cụ thể. Kết quả cho thấy không có một tổng nào trở nên quá "nổi bật" về mặt xác suất.
Từ đó, nhóm nghiên cứu có thể ước tính xác suất xảy ra từng loại sự cố và chứng minh tổng xác suất của các trường hợp xấu nhỏ hơn 1. Đây là bước then chốt để chứng minh rằng một cách sắp xếp hợp lệ chắc chắn tồn tại.
Đáng chú ý, theo Quanta Magazine, phân tích của hai tác giả còn cho thấy một cách sắp xếp ngẫu nhiên có thể được sửa để loại bỏ các sự cố với tỷ lệ thành công rất cao.
Cách tiếp cận này khác đáng kể so với những phương pháp được sử dụng trong các công trình trước đó.
Bài toán 55 năm cuối cùng được khép lại
Công trình "On Graham's rearrangement conjecture" của Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann được đưa lên arXiv vào tháng 2/2026. Bản chứng minh dài 27 trang.
Công trình này không đứng riêng lẻ mà là mảnh ghép cuối trong chuỗi kết quả của nhiều nhóm nghiên cứu. Khi kết hợp các công trình trước đó, các nhà toán học đã giải quyết giả thuyết Graham cho các tập hợp ở mọi quy mô trong trường hợp số nguyên tố p đủ lớn.
Điều này chính thức khép lại khoảng trống tồn tại suốt 55 năm kể từ khi Graham đặt câu hỏi vào năm 1971.
Tuy nhiên, có một giới hạn kỹ thuật cần lưu ý. Các kết quả hiện nay yêu cầu p đủ lớn, với quy mô được mô tả là cực kỳ lớn, có thể hình dung vào khoảng 10^100. Vì vậy, về mặt kỹ thuật, việc xác định lời giải cho mọi giá trị nhỏ của p vẫn là một câu hỏi khác chưa được giải quyết hoàn toàn.
Đối với giới toán học, đây vẫn được xem là một bước tiến quan trọng bởi vấn đề cốt lõi của Graham đã được giải quyết trong phạm vi mà các nghiên cứu hiện tại hướng tới.
Từ hai huy chương vàng Olympic đến những bài toán thế kỷ
Phạm Tuấn Huy sinh năm 1996 và từng là học sinh nổi bật của Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia TP.HCM.
Anh giành Huy chương Vàng Olympic Toán quốc tế hai năm liên tiếp, vào năm 2013 và 2014. Sau đó, Huy sang Mỹ học tại Đại học Stanford, nơi anh hoàn thành bằng cử nhân Toán và thạc sĩ Thống kê.
Trong bốn năm liên tiếp từ 2014 đến 2017, Huy đều lọt nhóm 80 thí sinh có thành tích cao tại Putnam, một trong những cuộc thi toán dành cho sinh viên đại học danh giá nhất Bắc Mỹ.
Năm 2018, luận văn danh dự của anh tại Stanford nhận Kennedy Thesis Prize trong lĩnh vực khoa học tự nhiên. Sau đó, Huy sang Đại học Cambridge học thạc sĩ Toán. Năm 2019, anh đứng đầu kỳ thi Part III của Mathematical Tripos và nhận giải dành cho sinh viên xuất sắc nhất về Toán thuần túy.
Huy trở lại Stanford làm tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của giáo sư Jacob Fox và nhận bằng tiến sĩ năm 2023.
Cũng trong năm này, Viện Toán học Clay trao cho Huy học bổng Clay Research Fellowship kéo dài 5 năm, bắt đầu từ tháng 7/2023. Đây là chương trình dành cho những nhà toán học trẻ có tiềm năng nghiên cứu nổi bật.
Trong sự nghiệp nghiên cứu, Huy tập trung vào tổ hợp xác suất, tổ hợp cộng, lý thuyết số và các lĩnh vực liên quan đến khoa học máy tính lý thuyết. Anh cùng Jinyoung Park từng chứng minh giả thuyết Kahn-Kalai, một kết quả được giới toán học đánh giá cao.
Năm 2024, Huy và Jinyoung Park cùng nhận giải Dénes König của SIAM cho những đóng góp nổi bật trong toán học rời rạc, đặc biệt là chứng minh giả thuyết Kahn-Kalai. Anh cũng nhận giải Frontiers of Science của ICBS.
Năm 2026, Huy tiếp tục được trao Sloan Research Fellowship, một trong những giải thưởng đáng chú ý dành cho các nhà nghiên cứu trẻ tại Mỹ và Canada. Hiện anh là trợ lý giáo sư Toán học và Rosenberg Scholar tại Viện Công nghệ California.
Một câu hỏi đơn giản, một hành trình hơn nửa thế kỷ
Điều đặc biệt của giả thuyết Graham nằm ở sự tương phản giữa cách phát biểu đơn giản và độ khó của lời giải.
Chỉ cần vài dòng là có thể mô tả câu hỏi: hãy sắp xếp các con số sao cho các tổng riêng phần không lặp lại. Nhưng để chứng minh rằng cách sắp xếp như vậy luôn tồn tại, các nhà toán học đã phải mất hơn nửa thế kỷ, với sự đóng góp của nhiều thế hệ và nhiều phương pháp khác nhau.
Từ những tập hợp cực lớn đến những tập hợp rất nhỏ, từng phần của bài toán lần lượt được tháo gỡ. Phần kích thước trung bình trở thành nút thắt cuối cùng.
Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann đã giải quyết nút thắt đó bằng một hướng tiếp cận dựa trên tính ngẫu nhiên, phản tập trung và phân tích Fourier.
Câu chuyện cũng cho thấy một đặc điểm đáng chú ý của toán học hiện đại: một lời giải lớn không nhất thiết đến từ một nhà toán học duy nhất hay một ý tưởng duy nhất. Có những bài toán phải chờ nhiều thập niên, để từng mảnh ghép được tạo ra bởi những nhóm nghiên cứu khác nhau, trước khi một thế hệ mới tìm thấy cách kết nối chúng.
Với Phạm Tuấn Huy, lời giải cho bài toán Graham là một dấu mốc mới trong hành trình từ cậu học sinh Việt Nam từng giành hai huy chương vàng Olympic Toán quốc tế đến một nhà nghiên cứu đang góp phần giải quyết những câu hỏi tồn tại từ hơn nửa thế kỷ trước.
Và với Ronald Graham, người đặt câu hỏi năm 1971, có lẽ điều đáng vui nhất là trực giác toán học của ông cuối cùng đã được chứng minh đúng.
Chân dung nhà toán học Phạm Tuấn Huy.
Câu hỏi vài dòng khiến các nhà toán học mất 55 nămNăm 1971, Ronald Graham đặt ra một câu hỏi về cách sắp xếp các phần tử trong một tập hợp. Ở dạng trực quan, nếu có một tập hợp gồm những số khác nhau và không có số 0, liệu có thể sắp xếp chúng theo một thứ tự đặc biệt để các tổng riêng phần liên tiếp không bao giờ trùng nhau?
Chẳng hạn, với dãy số được sắp xếp thành s1, s2, s3..., người ta xét s1, rồi s1+s2, tiếp đó s1+s2+s3 và cứ tiếp tục như vậy. Graham đặt câu hỏi liệu luôn tồn tại một cách sắp xếp để tất cả các tổng này đều khác nhau hay không.
Nếu chỉ làm việc với các số dương thông thường, câu hỏi không quá khó bởi tổng sẽ tăng dần. Vấn đề trở nên phức tạp khi các số được xét trong một hệ thống hữu hạn, nơi các giá trị có thể "quay vòng" như trên mặt đồng hồ.
Trong ngôn ngữ toán học, bài toán được đặt trong nhóm cộng modulo một số nguyên tố p. Khi đó, các số 0, p, 2p... được xem là cùng một giá trị. Vì vậy, hai số khác nhau về mặt số học thông thường vẫn có thể tạo ra cùng một tổng khi tính modulo p.
Graham dự đoán rằng, với mọi tập con các phần tử khác 0, luôn có thể tìm được một thứ tự để các tổng riêng phần đều khác nhau. Đây được biết đến với tên gọi "giả thuyết sắp xếp lại của Graham".
Điều thú vị là bài toán nhiều khả năng có liên hệ với niềm đam mê tung hứng của chính Graham. Ông không chỉ là một nhà toán học danh tiếng, từng giữ chức Chủ tịch Hội Toán học Mỹ, mà còn là một người tung hứng rất giỏi và từng giữ vai trò lãnh đạo Hiệp hội Tung hứng Quốc tế.
Trong cách hình dung này, mỗi số có thể được xem như thời gian một quả bóng ở trên không. Bài toán tương đương với việc tìm cách sắp xếp các lần ném sao cho không có hai quả bóng cùng rơi xuống vào một thời điểm.
Nhà toán học Ronald Graham cũng là một người tung hứng điêu luyện (Ảnh: Peter Vidor/Quanta Magazine)
Từng mảnh ghép được giải quyết qua nhiều thế hệ
Trong nhiều thập niên, giả thuyết của Graham vẫn nằm trong danh sách những bài toán chưa có lời giải hoàn chỉnh. Các nhà toán học sau đó dần xử lý những trường hợp đặc biệt, nhưng mỗi phương pháp thường chỉ phù hợp với một quy mô nhất định của tập hợp.
Một bước tiến quan trọng xuất hiện vào năm 2022, khi Alp Müyesser và Alexey Pokrovskiy xử lý trường hợp các tập hợp rất lớn, tức số lượng phần tử của tập hợp chiếm phần đáng kể so với kích thước của hệ thống modulo.
Ý tưởng của họ dựa vào việc xáo trộn ngẫu nhiên các phần tử. Một cách sắp xếp hoàn toàn ngẫu nhiên có thể tạo ra những đoạn mà tổng của các phần tử bằng 0. Khi đó, hai tổng riêng phần sẽ trùng nhau. Các nhà toán học tìm cách dành lại một số phần tử để sửa những đoạn "có vấn đề" này.
Hai năm sau, Noah Kravitz và Benjamin Bedert tiếp cận bài toán từ hướng ngược lại, tập trung vào những tập hợp rất nhỏ so với p. Kết quả được công bố năm 2024.
Đến tháng 8/2025, Bedert, Matija Bucić, Kravitz, Richard Montgomery và Müyesser tiếp tục mở rộng kết quả, xử lý thêm những trường hợp tập hợp tương đối lớn.
Tuy nhiên, giữa các kết quả đó vẫn tồn tại một vùng khó xử lý: những tập hợp có kích thước trung bình. Đây chính là phần mà các phương pháp trước đó không thể áp dụng hiệu quả.
Nếu tập hợp quá lớn, kỹ thuật của Müyesser và Pokrovskiy có thể phát huy tác dụng. Nếu tập hợp quá nhỏ, phương pháp của Kravitz và Bedert giải quyết được vấn đề. Nhưng khi số lượng phần tử nằm ở khoảng giữa, cả hai hướng đều gặp trở ngại.
Khoảng trống này cuối cùng được Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann lấp đầy.
Ba ngày ở Bonn và bước ngoặt của bài toán
Huy và Sauermann vốn đã quen biết nhau từ năm 2015 tại Đại học Stanford. Khi đó, Sauermann là nghiên cứu sinh còn Phạm Tuấn Huy là sinh viên đại học.
Tháng 9/2025, hai người có dịp gặp lại nhau tại một hội nghị ở Đức. Tại đây, họ nghe hai bài trình bày liên quan đến giả thuyết Graham và nhận ra rằng phần kích thước trung bình vẫn chưa được giải quyết.
Phạm Tuấn Huy quyết định ở lại Bonn thêm khoảng ba ngày. Trong khoảng thời gian rất ngắn đó, hai người bắt đầu tìm hướng tiếp cận mới.
Điểm xuất phát vẫn là ý tưởng xáo trộn ngẫu nhiên các phần tử. Sau đó, họ xây dựng một quy trình để sửa những đoạn có tổng bằng 0. Khi phát hiện một đoạn như vậy, phần tử cuối của đoạn có thể được thay thế bằng một phần tử khác nhằm phá vỡ sự trùng lặp.
Nhưng việc sửa lỗi lại có thể tạo ra lỗi mới. Các nhà toán học phải chứng minh rằng quá trình này không rơi vào vòng lặp hoặc thất bại.
Họ xác định ba tình huống có thể khiến quy trình gặp vấn đề. Thứ nhất, một đoạn có tổng bằng 0 có thể xuất hiện quá gần cuối dãy, khi không còn phần tử thích hợp để thay thế. Thứ hai, có quá nhiều đoạn có vấn đề xuất hiện quá gần nhau khiến việc sửa chữa trở nên bất khả thi. Thứ ba, việc sửa một đoạn có thể vô tình tạo ra một đoạn có tổng bằng 0 khác.
Đây chính là phần khó nhất của lời giải.
Sức mạnh của xác suất và phân tích Fourier
Để vượt qua trở ngại này, Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann sử dụng một kỹ thuật được gọi là "phản tập trung" hay anti-concentration.
Có thể hiểu đơn giản rằng thay vì cố gắng chỉ ra trực tiếp một cách sắp xếp hoàn hảo, các nhà toán học chứng minh rằng những tình huống xấu xảy ra với xác suất đủ nhỏ.
Họ bắt đầu bằng những cách sắp xếp ngẫu nhiên. Nếu các sự cố đều rất hiếm, tổng xác suất để ít nhất một sự cố nghiêm trọng xảy ra sẽ nhỏ hơn 1. Khi đó, chắc chắn phải tồn tại ít nhất một cách sắp xếp không gặp bất kỳ sự cố nào.
Để chứng minh điều này, hai nhà toán học sử dụng phân tích Fourier, một công cụ cho phép phân tích các hàm phức tạp thành những thành phần đơn giản hơn có dạng sóng.
Trong bài toán này, phân tích Fourier giúp họ kiểm soát khả năng một tổng ngẫu nhiên rơi đúng vào một giá trị cụ thể. Kết quả cho thấy không có một tổng nào trở nên quá "nổi bật" về mặt xác suất.
Từ đó, nhóm nghiên cứu có thể ước tính xác suất xảy ra từng loại sự cố và chứng minh tổng xác suất của các trường hợp xấu nhỏ hơn 1. Đây là bước then chốt để chứng minh rằng một cách sắp xếp hợp lệ chắc chắn tồn tại.
Đáng chú ý, theo Quanta Magazine, phân tích của hai tác giả còn cho thấy một cách sắp xếp ngẫu nhiên có thể được sửa để loại bỏ các sự cố với tỷ lệ thành công rất cao.
Cách tiếp cận này khác đáng kể so với những phương pháp được sử dụng trong các công trình trước đó.
Bài toán 55 năm cuối cùng được khép lại
Công trình "On Graham's rearrangement conjecture" của Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann được đưa lên arXiv vào tháng 2/2026. Bản chứng minh dài 27 trang.
Công trình này không đứng riêng lẻ mà là mảnh ghép cuối trong chuỗi kết quả của nhiều nhóm nghiên cứu. Khi kết hợp các công trình trước đó, các nhà toán học đã giải quyết giả thuyết Graham cho các tập hợp ở mọi quy mô trong trường hợp số nguyên tố p đủ lớn.
Điều này chính thức khép lại khoảng trống tồn tại suốt 55 năm kể từ khi Graham đặt câu hỏi vào năm 1971.
Tuy nhiên, có một giới hạn kỹ thuật cần lưu ý. Các kết quả hiện nay yêu cầu p đủ lớn, với quy mô được mô tả là cực kỳ lớn, có thể hình dung vào khoảng 10^100. Vì vậy, về mặt kỹ thuật, việc xác định lời giải cho mọi giá trị nhỏ của p vẫn là một câu hỏi khác chưa được giải quyết hoàn toàn.
Đối với giới toán học, đây vẫn được xem là một bước tiến quan trọng bởi vấn đề cốt lõi của Graham đã được giải quyết trong phạm vi mà các nghiên cứu hiện tại hướng tới.
Từ hai huy chương vàng Olympic đến những bài toán thế kỷ
Phạm Tuấn Huy sinh năm 1996 và từng là học sinh nổi bật của Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia TP.HCM.
Anh giành Huy chương Vàng Olympic Toán quốc tế hai năm liên tiếp, vào năm 2013 và 2014. Sau đó, Huy sang Mỹ học tại Đại học Stanford, nơi anh hoàn thành bằng cử nhân Toán và thạc sĩ Thống kê.
Trong bốn năm liên tiếp từ 2014 đến 2017, Huy đều lọt nhóm 80 thí sinh có thành tích cao tại Putnam, một trong những cuộc thi toán dành cho sinh viên đại học danh giá nhất Bắc Mỹ.
Năm 2018, luận văn danh dự của anh tại Stanford nhận Kennedy Thesis Prize trong lĩnh vực khoa học tự nhiên. Sau đó, Huy sang Đại học Cambridge học thạc sĩ Toán. Năm 2019, anh đứng đầu kỳ thi Part III của Mathematical Tripos và nhận giải dành cho sinh viên xuất sắc nhất về Toán thuần túy.
Huy trở lại Stanford làm tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của giáo sư Jacob Fox và nhận bằng tiến sĩ năm 2023.
Cũng trong năm này, Viện Toán học Clay trao cho Huy học bổng Clay Research Fellowship kéo dài 5 năm, bắt đầu từ tháng 7/2023. Đây là chương trình dành cho những nhà toán học trẻ có tiềm năng nghiên cứu nổi bật.
Trong sự nghiệp nghiên cứu, Huy tập trung vào tổ hợp xác suất, tổ hợp cộng, lý thuyết số và các lĩnh vực liên quan đến khoa học máy tính lý thuyết. Anh cùng Jinyoung Park từng chứng minh giả thuyết Kahn-Kalai, một kết quả được giới toán học đánh giá cao.
Năm 2024, Huy và Jinyoung Park cùng nhận giải Dénes König của SIAM cho những đóng góp nổi bật trong toán học rời rạc, đặc biệt là chứng minh giả thuyết Kahn-Kalai. Anh cũng nhận giải Frontiers of Science của ICBS.
Năm 2026, Huy tiếp tục được trao Sloan Research Fellowship, một trong những giải thưởng đáng chú ý dành cho các nhà nghiên cứu trẻ tại Mỹ và Canada. Hiện anh là trợ lý giáo sư Toán học và Rosenberg Scholar tại Viện Công nghệ California.
Một câu hỏi đơn giản, một hành trình hơn nửa thế kỷ
Điều đặc biệt của giả thuyết Graham nằm ở sự tương phản giữa cách phát biểu đơn giản và độ khó của lời giải.
Chỉ cần vài dòng là có thể mô tả câu hỏi: hãy sắp xếp các con số sao cho các tổng riêng phần không lặp lại. Nhưng để chứng minh rằng cách sắp xếp như vậy luôn tồn tại, các nhà toán học đã phải mất hơn nửa thế kỷ, với sự đóng góp của nhiều thế hệ và nhiều phương pháp khác nhau.
Từ những tập hợp cực lớn đến những tập hợp rất nhỏ, từng phần của bài toán lần lượt được tháo gỡ. Phần kích thước trung bình trở thành nút thắt cuối cùng.
Phạm Tuấn Huy và Lisa Sauermann đã giải quyết nút thắt đó bằng một hướng tiếp cận dựa trên tính ngẫu nhiên, phản tập trung và phân tích Fourier.
Câu chuyện cũng cho thấy một đặc điểm đáng chú ý của toán học hiện đại: một lời giải lớn không nhất thiết đến từ một nhà toán học duy nhất hay một ý tưởng duy nhất. Có những bài toán phải chờ nhiều thập niên, để từng mảnh ghép được tạo ra bởi những nhóm nghiên cứu khác nhau, trước khi một thế hệ mới tìm thấy cách kết nối chúng.
Với Phạm Tuấn Huy, lời giải cho bài toán Graham là một dấu mốc mới trong hành trình từ cậu học sinh Việt Nam từng giành hai huy chương vàng Olympic Toán quốc tế đến một nhà nghiên cứu đang góp phần giải quyết những câu hỏi tồn tại từ hơn nửa thế kỷ trước.
Và với Ronald Graham, người đặt câu hỏi năm 1971, có lẽ điều đáng vui nhất là trực giác toán học của ông cuối cùng đã được chứng minh đúng.
